Question

22、如圖，在△ABC中，AB=AC．

（1）若O為AB的中點，以O為圓心，OB為半徑的圓交BC于點D，過D作DE⊥AC，垂足為E（如圖①）．證明：DE是⊙O的切線；
（2）若點O沿OB向點B移動，以O為圓心，以OB為半徑畫圓，⊙O與AC相切于點F，與AB相交于點G，與BC相交于點D，DE⊥AC，垂足為E（如圖②），已知⊙O的半徑長為3，CE=1，求切線AF的長．

Answer 1

分析：（1）連接OD，證OD⊥DE，即DE與⊙O相切；
（2）作輔助線，連接OD，AF，由DE、AF是⊙O的切線，DE⊥AC，可證四邊形ODEF為矩形，根據AB=AC，可得：AO=AF+1，故在Rt△AOF中，運用勾股定理可將AF的值求出．

解答：（1）證明：連接OD；
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB．
又∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB．
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE．
∴DE與⊙O相切．

（2）解：連接OD，OF；
∵DE、AF是⊙O的切線，
∴OF⊥AC，OD⊥DE．
又∵DE⊥AC，
∴四邊形ODEF為矩形．
∴OD=EF=3．
設AF=x，則AB=AC=x+3+1=x+4，AO=AB-OB=x+4-3=x+1
∵OF⊥AC，
∴AO²=OF²+AF²即：（x+1）²=9+x²解得x=4．
∴AF的長度為4．

點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．