Question

（2008•漳州）如圖，A、B、C三點在⊙O上，=，∠1=∠2．
（1）判斷OA與BC的位置關系，并說明理由；
（2）求證：四邊形OABC是菱形；
（3）過A作⊙O的切線交CB的延長線于P，且OA=4，求△APB的周長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據內錯角∠2=∠3，可知：OA∥BC；
（2）方法一，方法二，方法三：先證四邊形OABC是平行四邊形，再根據鄰邊的長相等，可證四邊形OABC是菱形；方法四根據對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形；也可證四邊形OABC是菱形；
（3）根據切線的性質可知：OA⊥AP，由OA∥CP可知：∠CPA=90°，故△APB為直角三角形，根據等邊△OAB的邊長和∠OAB的度數，可求出∠APB的度數和AB的長，故可求出△APB的周長．
解答：（1）解：OA∥BC．
理由：∵OA=OC，
∴∠1=∠3．
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3．
∴OA∥BC．

（2）證明：（方法一）∵=，
∴∠2=∠4．
∵∠2=∠1，
∴∠1=∠4．
∴AB∥OC．
由（1）得∴OA∥BC．
∴四邊形OABC是平行四邊形．
又∵OA=OC，
∴四邊形OABC是菱形．
（方法二）∵=，
∴∠2=∠4．
由（1）得∠2=∠3，
∴∠3=∠4．
在△AOC與△ABC中，∠1=∠2，AC=AC，∠3=∠4，
∴△AOC≌△ABC．
∴OA=BA，OC=BC．
又∵OA=OC，
∴OA=AB=BC=OC．
∴四邊形OABC是菱形．
（方法三）連接OB，
∵=，
∴∠3=∠4，AB=BC．
由（1）得OA∥BC，
∴∠3=∠5．
∴∠4=∠5．
∴BC=OC．
又∵OA=OC，
∴OA=AB=BC=OC．
∴四邊形OABC是菱形．
（方法四）連接OB，∵=，
∴∠3=∠4．
又∵OA=OC，
∴OB垂直平分AC．
由（1）得OA∥BC．
∴∠3=∠5．
∴∠4=∠5．
∴BC=OC．
又∵∠1=∠2，
∴AC垂直平分OB．
∴AC與OB互相垂直平分，
∴四邊形OABC是菱形．

（3）解：∵AP與⊙O相切，
∴∠OAP=90°．
由（1）得OA∥BC，
∴∠P=90°．
由（2）得OA=AB=4，
又∵OA=OB，
∴△OAB是等邊三角形．
∴∠OAB=60°．
∴∠BAP=30°．
在Rt△ABP中，PB=AB=2，AP=AB×cos∠PAB=4cos30°=．
∴△ABP的周長為4+2+=6+．
點評：菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據，常用三種方法：
①定義法；
②四邊相等法；
③對角線互相垂直平分．具體選擇哪種方法需要根據已知條件來確定．