Question

（2008•漳州）如圖，二次函數y=ax²-5ax+4a（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C，點C關于拋物線對稱軸的對稱點為D，連接BD．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）若AD⊥BC，垂足為P，求二次函數的表達式；
（3）在（2）的條件下，若直線x=m把△ABD的面積分為1：2的兩部分，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）A、B兩點為x軸上的點，故其總坐標為0，令y=0解方程即可；
（2）根據圖形特點，可以利用相似三角形的性質和直角三角形的性質求出C點坐標，再代入解析式取出a的值；
（3）根據題意可確定，直線x=m與x軸交點在線段AB上，S_△AMN=S_△ABD和S_△AMN=S_△ABD兩種情況利用三角形面積公式解答．
解答：解：（1）∵拋物線與x軸交于A、B兩點
∴ax²-5ax+4a=0（1分）
∵a≠0
∴x²-5x+4=0，
解得x₁=1，x₂=4（3分）
∴A（1，0），B（4，0）．（4分）

（2）（方法一）連接AC、CD，由對稱性知：四邊形ABDC是等腰梯形，
∴∠CAB=∠DBA
在△ABC與△BAD中，
AC=BD，∠CAB=∠DBA，AB=BA
∴△ABC≌△BAD
∴∠1=∠2（6分）
∵AD⊥BC
∴∠1=∠2=45°
∵∠BOC=90°
∴∠OCB=∠1=45°
∴OC=OB=4
∴C（0，4）（8分）
把C（0，4）的坐標代入y=ax²-5ax+4a
得4a=4
∴a=1
∴二次函數的表達式為y=x²-5x+4．（10分）
（方法二）∵A、C兩點關于拋物線對稱軸的對稱點分別為B、D，
∴AD、BC的交點P在拋物線對稱軸上，
∴PA=PB（6分）
∵AD⊥BC
∴∠1=∠2=45°
∵∠BOC=90°
∴∠OCB=∠1=45°
∴OC=OB=4
∴C（0，4）（8分）
把C（0，4）的坐標代入y=ax²-5ax+4a
得4a=4
∴a=1
∴二次函數的表達式為y=x²-5x+4．（10分）

（3）（方法一）S_△ABD=×3×4=6，
設直線x=m與AD、AB分別交于M、N，則AN=m-1，
由（2）得∠1=45°，∠2=90°，
∴MN=AN=m-1，
∴S_△AMN=（m-1）²（11分）
當S_△AMN=S_△ABD時，（m-1）²=×6；
解得m=3（負值舍去）（12分）
當S_△AMN=S_△ABD時，（m-1）²=×6；
解得m=+1（負值舍去）．（13分）
過B作BE⊥AB交AD于E，則S_△ABE=4.5，
S_△ABD=4，
∵4.5＞4，
∴點N在線段AB上
∴m＜4，
綜上所述，m的值為3或+1．（14分）
（方法二）S_△ABD=×3×4=6，
設直線x=m與AD、AB分別交于M、N，
由（2）得∠1=45°，∠2=90°，
∴MN=AN，
∴S_△AMN=AN•MN=AN²（11分）
當S_△AMN=S_△ABD時，AN²=2，解得AN=2．
∴ON=3即m=3．（12分）
當S_△AMN=S_△ABD時，AN²=4，
解得AN=，
∴ON=+1即m=+1，（13分）
過B作BE⊥AB交AD于E，則S_△ABE=4.5，
S_△ABD=4，
∵4.5＞4
∴點N在線段AB上
∴m＜4
綜上所述，m的值為3或+1．（14分）
點評：此題將二次函數與三角形與等腰梯形相結合，充分體現了數形結合思想解決數學問題時的作用，解答此題的關鍵是充分利用解析式每一項都含a的特點及特殊三角形和等腰梯形的性質．