Question

【題目】已知tan∠MON=2，矩形ABCD的邊AB在射線OM上，AD=2，AB=m，CF⊥ON，垂足為點F.

（1）如圖（1），作AE⊥ON，垂足為點E. 當m=2時，求線段EF的長度；

圖（1）

（2）如圖（2），聯結OC，當m=2，且CD平分∠FCO時，求∠COF的正弦值；

圖（2）

（3）如圖（3），當△AFD與△CDF相似時，求m的值.

圖（3）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）1或2或.

【解析】

（1）如圖1，延長FC交OM于點G，證∠BCG=∠MON，在Rt△AOE中，設OE=a，可求得OA，OG，OF的長，則；

（2）如圖2，延長FC交OM于點G，由（1）得，推出，在Rt△COB中，由勾股定理求出a的值，得出OF的長，可求出cos∠COF的值，進一步推出sin∠COF的值；
（3）需分情況討論：當D在∠MON內部時，△FDA∽△FDC時，此時CD=AD=2，m=2；當△FDA∽△CDF時，延長CD交ON于點Q，過F作FP⊥CQ于P，可利用三角函數求出m的值；當D在∠MON外部時，可利用相似的性質等求出m的值．

解：解：（1）如圖1，

延長交于點，

，，

，

則，

，，

在中，

設，由，

可得，則，，

；

（2）如圖2，

延長交于點，由（1）得，

平分，

，

，

，，

，

，

在中，由，

得，

解得（舍去），，

，

，

；

（3）當在內部時，

①如圖，

時，此時，

；

②當時，

如圖，

延長交于點，過作于，

則，

，

，

，

，

，

，

，

，

；

當在外部時，，，

，

，，

如圖，

時，此時，

，

，

、重合，

延長交于，

，，，

；

如圖，

時，設，

延長交于，過作于，

，

，

，

，，，，，

，

，

，

，

，

解得，，（舍去），

，矛盾，

綜上所述：或，或．