Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是邊AB上一點，以BD為直徑的⊙O經過點E，且交BC于點F．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若BF=6，⊙O的半徑為5，求CE的長．

Answer 1

分析：（1）連接OE，證明∠OEA=90°即可；
（2）連接OF，過點O作OH⊥BF交BF于H，由題意可知四邊形OECH為矩形，利用垂徑定理和勾股定理計算出OH的長，進而求出CE的長．

解答：（1）證明：連接OE．
∵OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE=∠EBC，
∴∠EBC=∠OEB，
∴OE∥BC，
∴∠OEA=∠C，
∵∠ACB=90°，
∴∠OEA=90°
∴AC是⊙O的切線；

（2）解：連接OE、OF，過點O作OH⊥BF交BF于H，
由題意可知四邊形OECH為矩形，
∴OH=CE，
∵BF=6，
∴BH=3，
在Rt△BHO中，OB=5，
∴OH=

52-32

=4，
∴CE=4．

點評：本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線和垂徑定理以及勾股定理的運用，具有一定的綜合性．