Question

8．如圖，△BCD內有一點A，∠ABC=15°，△ACD是等腰直角三角形，∠ACD=90°，BD=7，AB=3，則BC的長為4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據旋轉的性質得到BC=CB′，∠BCB′=90°，DB′=AB=3，∠CB′D=∠ABC=15°，推出△BCB′是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得到∠BB′C=45°，求得∠BB′D=60°，過D作DE⊥BB′于E，解直角三角形即可得到結論．

解答 解：∵△ACD是等腰直角三角形，∠ACD=90°，
∴把△ABC繞著點C順時針旋轉90°，得△CB′D，則A與D重合，
∴BC=CB′，∠BCB′=90°，DB′=AB=3，∠CB′D=∠ABC=15°，
∴△BCB′是等腰直角三角形，
∴∠BB′C=45°，
∴∠BB′D=60°，
過D作DE⊥BB′于E，
∴B′E=$\frac{3}{2}$，DE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵BD=7，
∴BE=$\sqrt{B{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\frac{13}{2}$，
∴BB′=8，
∴BC=4$\sqrt{2}$．
故答案為：4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質和判定，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關鍵．