Question

觀察下列有規律的數：

1

2

，

1

6

，

1

12

，

1

20

，

1

30

，

1

42

…
根據其規律，則
（1）第7個數是

 

；
（2）第n個數是

 

；
（3）

1

156

是第

 

個數；
（4）計算：

1

2

+

1

6

+

1

12

+

1

20

+

1

30

+

1

42

+…+

1

n(n+1)

．

Answer 1

分析：根據所給的數據，發現：第n個數的分子是1，分母是n（n+1）．根據這一規律．即用代數式表示為

1

n(n+1)

．
即可計算：第7個數是

1

7×8

=

1

56

；當分母是156時，即n（n+1）=156，n=12或n=-13（應舍去）．
（4）中，

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．根據上述規律進行拆分，發現抵消的規律，即可計算．

解答：解：根據以上分析（1）第7個數是

1

7×8

=

1

56

；

（2）第n個數是

1

n(n+1)

；

（3）根據上述規律，得n（n+1）=156，n=12或n=-13（負數應舍去）．

（4）解：原式=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+

1

5×6

+

1

6×7

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點評：此題主要是發現分母的規律，能夠根據規律進行拆分計算．