Question

（2010•欽州）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點M，AE切⊙O于點A，交BC的延長線于點E，連接AC．
（1）若∠B=30°，AB=2，求CD的長；
（2）求證：AE²=EB•EC．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于AB是直徑，所以有∠ACB=90°，在Rt△ABC中，利用∠B的余弦值可求出BC，再在Rt△BMC中，利用∠B的正弦值，可求CM，利用垂徑定理可知CD=2CM，即可求CD；
（2）由于AE是切線，利用弦切角定理可知∠EAC=∠EBA，再加上一對公共角，容易證出△EAC∽△EBA，那么可得比例線段，即可證．
解答：（1）解法一：
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．                       （1分）
在Rt△ABC中，∠B=30°，AB=2，
∴BC=AB•cos30°=2×．        （2分）
∵CD⊥AB，∠B=30°，
∴CM=，BC=，（4分）
CD=2CM=；（5分）（其它解法請酌情給分）
解法二：
∵AB為⊙O的直徑，∠B=30°，
∴AC=AB=1，BC=AB•cos30°=．      （2分）
∵CD⊥AB于點M，
∴CD=2CM，AB×CM=AC×BC，（4分）
∴CD=2CM=2×=2×=；（5分）

（2）證明：
∵AE切⊙O于點A，AB為⊙O的直徑，
∴∠BAE=90°，∠ACE=∠ACB=90°，（6分）
∴∠ACE=∠BAE=90°．                 （7分）
又∵∠E=∠E，
∴Rt△ECA∽Rt△EAB，（8分）
∴，（9分）
∴AE²=EB•EC．                       （10分）
點評：本題利用了直角三角形中三角函數值、弦切角定理、相似三角形的判定和性質等知識．