Question

（2010•歷下區三模）（1）如圖，等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，E是梯形外一點，且EA=ED，試說明EB=EC；
（2）如圖，點D在⊙O的直徑AB的延長線上，點C在⊙O上，AC=CD，∠D=30°，
①求證：CD是⊙O的切線；
②若⊙O的半徑為3，求弧BC的長．（結果保留π）

Answer 1

【答案】分析：（1）構造全等三角形，△ABE≌△DCE，根據已知可知，AB=DC，AE=DE，若再求出∠BAE=∠CDE，就可利用SAS證明△ABE≌△DCE，那么EB=EC．關鍵是求出∠BAE=∠CDE，先利用四邊形ABCD是等腰梯形，那么∠BAD=∠CDA，而EA=ED，利用等邊對等角，可得∠EAD=∠EDA，于是再利用等式性質，可求∠BAE=∠CDE；

（2）①連接OC，由于CA=CD，∠D=30°，那么∠A=∠D=30°，利用三角形內角和等于180°，可得∠ACD=120°，又由于OA=OC，那沒人∠OCA=∠A=30°，于是可求∠OCD=90°，即CD是⊙O的切線．
②由OA=OC，∠A=30°，那么可知∠COD=60°，而r=3，利用弧長公式可求弧BC=π．
解答：（1）證明：在等腰梯形ABCD中，
∵AB=CD，AD∥BC，
∴∠BAD=∠ADC，
∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠BAE=∠EDC，（1分）
在△ABE和△CDB中，
∵AB=DC，∠BAE=∠EDC，EA=ED，
∴△ABE≌△CDE，（2分）
∴EB=EC；（3分）

（2）解：①連接OC，
∵AC=CD，∠D=30°，
∴∠A=30°，∠ACD=12O°，（1分）
∵OA=OC，
∴∠ACO=30°，
∴∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切線；（2分）
②∵OA=OC，∠A=30°，
∴∠OCD=60°，（3分）
∵r=3，
∴弧BC=π×3=π．
點評：本題利用了等腰梯形的性質、等式性質、全等三角形的判定和性質、等邊對等角、切線的判定、三角形外角性質、弧長計算公式．