Question

如圖在直角梯形ABCD中，AB，BC，CD分別與⊙O相切于點E，F，G，且AB∥CD．OB與EF相交于點M，OC與FG相交于點N，連接MN．
（1）求證：MN²=BF•CF
（2）若OB=6，OC=8，若AD也與⊙O相切，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先證明OB⊥OC，即轉化為證明∠BOC=90°，即可，利用切線長定理和平行線的性質：同旁內角互補即可證明，再利用矩形的性質得出MN=OF，進而利用相似三角形的性質得出答案；
（2）首先利用勾股定理得出BC的長，再利用三角形面積得出FO的長，再利用切線長定理以及直角梯形面積求法得出矩形ADGE的面積和S_梯形EGCB進而得出答案．
解答：（1）證明：連接EO，OG，FO，
∵BA，BC為⊙O的切線，
∴BO平分∠ABC，
同理CO平分∠BCD，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBC+∠BCO=90°，
∴∠BOC=90°，
即OB⊥OC，
∵直角梯形ABCD中，AB，BC，CD分別與⊙O相切于點E，F，G，
∴可得出：∠EOB=∠BOF，∠FOC=∠COG，FO⊥BC，
∴∠EOB+∠COG=90°，
∴EG在一條直線上，且過圓心O，故EG是直徑，
∴∠EFG=90°，
∵由已知可得出：CG=FC，FO=OG，
∴CO垂直平分FG，
∴∠ONF=90°，
∴四邊形ONFM是矩形，
∴NM=FO，
∵∠BOF+∠FOC=90°，∠OBF+∠BOF=90°，
∴∠OBF=∠FOC，
∵∠OFB=∠OFC=90°，
∴△OFB∽△CFO，
∴=，
∴FO²=FC•BF，
∴MN²=BF•CF；

（2）解：設AD與⊙O相切于點W，
∵在Rt△OBC中，OB=6，OC=8，
BC²=OB²+OC²，
∴BC=10，
∵FO×BC=BO×CO，
∴10FO=6×8，
∴OF=4.8，
即圓的半徑為4.8，
∴EG=9.6，
∵在直角梯形ABCD中，AD與⊙O相切，EG是直徑
∴四邊形ADGE是矩形，
∴AE=DG=WO=4.8，
∴矩形ADGE的面積為：4.8×9.6=46.08，
由（1）可得出四邊形EGCB是直角梯形，
∴S_梯形EGCB=EG（EB+GC）=×9.6×10=48，
∴四邊形ABCD的面積為：矩形ADGE的面積+S_梯形EGCB=46.08+48=94.08．
點評：本題考查了切線長定理、平行線的性質以及矩形的判定和性質、勾股定理的運用和相似三角形的判定和性質等知識，根據已知得出EG是⊙O是解題關鍵．