Question

如圖所示，△ABC中，AC=BC，以AC為直徑的⊙O交AB于E，作△BCA的外角平分線CF交⊙O于F，連接EF，求證：EF=BC．

Answer 1

【答案】分析：由等邊對等角得∠B=∠A，由∠DCA是△ABC的外角，且CF平分∠DCA，可得∠DCF=∠FCA=∠A=∠B，由此可得FC∥AB，又∠FCA=∠FEA，因此∠FEA=∠B，即BC∥EF，因此四邊形CFEB是平行四邊形，可證得BC=EF．
解答：證明：∵CA=CB，
∴∠B=∠A，
又∵∠DCA=2∠FCA，∠DCA=∠A+∠B=2∠A，
∴∠FCA=∠A．
∴CF∥AB．
又∵∠FCA=∠FEA（同弧所對的圓周角相等），
∴∠FEA=∠B．
∴BC∥EF．
∴四邊形CFEB為平行四邊形．
∴EF=BC．
點評：本題主要考查了平行線的判定、等腰三角形的性質、圓周角定理、平行四邊形的判定和性質等知識的綜合應用能力．