Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0，a＞0，b＞0．
（1）若方程有實(shí)數(shù)根，試確定a，b之間的大小關(guān)系；
（2）若a：b=2：

3

，且2x₁-x₂=2，求a，b的值；
（3）在（2）的條件下，二次函數(shù)y=x²+2ax+b²的圖象與x軸的交點(diǎn)為A、C（點(diǎn)A在點(diǎn)C的左側(cè)），與y軸的交點(diǎn)為B，頂點(diǎn)為D．若點(diǎn)P（x，y）是四邊形ABCD邊上的點(diǎn)，試求3x-y的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根可以得到其根的判別式為非負(fù)數(shù)，然后再根據(jù)a＞0，b＞0作出判斷即可；
（2）利用a與b的比值分別設(shè)出a和b，利用根與系數(shù)的關(guān)系用設(shè)出的未知數(shù)表示出方程的兩個(gè)解，代入的2x₁-x₂=2中求得a與b的值即可；
（3）將上題中求得的a與b的值代入到函數(shù)中確定函數(shù)的解析式，然后求得與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，據(jù)此可以求出3x-y的最大值．

解答：解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0有實(shí)數(shù)根，
∴△=（2a）²-4b²≥0，
有a²-b²≥0，
（a+b）（a-b）≥0．
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＞0，a-b≥0．
∴a≥b．

（2）∵a：b=2：

3

，
∴設(shè)a=2k，b=

3

k．
解關(guān)于x的一元二次方程x²+4kx+3k²=0，得x=-k或-3k．
當(dāng)x₁=-k，x₂=-3k時(shí)，由2x₁-x₂=2得k=2．
當(dāng)x₁=-3k，x₂=-k時(shí)，由2x₁-x₂=2得k=-

2

5

（不合題意，舍去）．
∴a=4，b=2

3

．

（3）當(dāng)a=4，b=2

3

時(shí)，
二次函數(shù)y=x²+8x+12與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（-6，0）、C（-2，0），
與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為B（0，12），頂點(diǎn)坐標(biāo)D為（-4，-4）．
設(shè)z=3x-y，則y=3x-z．
畫出函數(shù)y=x²+8x+12和y=3x的圖象，若直線y=3x平行移動時(shí)，如圖
可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)符合題意，此時(shí)最大z的值等于-6

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)綜合知識，函數(shù)綜合題是初中數(shù)學(xué)中覆蓋面最廣、綜合性最強(qiáng)的題型．近幾年的中考壓軸題多以函數(shù)綜合題的形式出現(xiàn)．解決函數(shù)綜合題的過程就是轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程思想的應(yīng)用過程．