Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，點P在AC上，AP=2，若⊙O的圓心在線段BP上，且⊙O與AB、AC都相切，則⊙O的半徑是    ．

Answer 1

【答案】分析：設⊙O和AC，AB分別相切于點D、E，連接OD、OE．設圓的半徑是x．根據切線長定理和勾股定理求解．
解答：解：設⊙O和AC，AB分別相切于點D、E，連接OD、OE．
設圓的半徑是x．在直角三角形ABC中，根據勾股定理得BC=6．
又PC=8-2=6，則BC=PC，
所以∠BPC=45°，
∴PD=OD=x，AD=x+2，
根據切線長定理得AE=x+2，BE=10-（2+x）=8-x，OB=BP-OP=6-x；
在直角三角形OBE中，根據勾股定理得：
（6-x）²=x²+（8-x）²，
∴x=1，即⊙O的半徑是1．
點評：此題綜合運用了勾股定理、切線長定理．要能夠發現一個等腰直角三角形，最后在直角三角形BOE中根據勾股定理列方程求解．