Question

將給定的銳角∠AOB置于直角坐標系中，邊OB在x軸上、邊OA與函數的圖象交于點P，以P為圓心、以2OP為半徑作弧交圖象于點R．分別過點P和R作x軸和y軸的平行線，兩直線相交于點M，連接OM得到∠MOB，則∠MOB=∠AOB．請研究以下問題：
（1）設、，求直線OM對應的函數表達式（用含a，b的代數式表示）．
（2）分別過點P和R作y軸和x軸的平行線，兩直線相交于點Q．請說明Q點在直線OM上，并據此證明∠MOB=∠AOB．
（3）應用上述方法得到的結論，你如何三等分一個鈍角（用文字簡要說明）．

Answer 1

解：（1）設直線OM對應的函數表達式y=kx．
根據題意，得M（b，），
則有bk=，即k=，
則直線OM對應的函數表達式y=；

（2）根據題意，得Q（a，）．
當x=a時，則y=，則Q點在直線OM上；
根據題意，得四邊形PQRM是矩形，則QS=SR，
∴∠SQR=∠SRQ．
∵OP=PS，
∴∠POS=∠PSO=∠SQR+∠SRQ=2∠MOB，
∴∠MOB=∠AOB；

（3）可以運用上述方法作鈍角的補角（銳角）的三等分線，再進一步構造60°的角．
利用60°減去所求的角即是我們要的角度．
分析：（1）根據題意，得M（b，），再進一步運用待定系數法求解；
（2）根據題意，得Q（a，），再根據（1）中求得的直線解析式求證Q點在直線OM上；結合矩形的性質、等腰三角形的性質和三角形的外角的性質即可證明；
（3）可以運用上述方法作鈍角的補角的三等分線，再進一步構造60°的角．
點評：此題在考查三等分角的作法時，綜合考查了待定系數法求函數解析式的方法、矩形的性質以及三角形外角的性質等，綜合性較強．