Question

將給定的銳角∠AOB置于直角坐標(biāo)系中，邊OB在x軸上、邊OA與函數(shù)y=

1

x

的圖象交于點(diǎn)P，以P為圓心、以2OP為半徑作弧交圖象于點(diǎn)R．分別過(guò)點(diǎn)P和R作x軸和y軸的平行線，兩直線相交于點(diǎn)M，連接OM得到∠MOB，則∠MOB=

1

3

∠AOB．請(qǐng)研究以下問(wèn)題：
（1）設(shè)P(a，

1

a

)、R(b，

1

b

)，求直線OM對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式（用含a，b的代數(shù)式表示）．
（2）分別過(guò)點(diǎn)P和R作y軸和x軸的平行線，兩直線相交于點(diǎn)Q．請(qǐng)說(shuō)明Q點(diǎn)在直線OM上，并據(jù)此證明∠MOB=

1

3

∠AOB．
（3）應(yīng)用上述方法得到的結(jié)論，你如何三等分一個(gè)鈍角（用文字簡(jiǎn)要說(shuō)明）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，得M（b，

1

a

），再進(jìn)一步運(yùn)用待定系數(shù)法求解；
（2）根據(jù)題意，得Q（a，

1

b

），再根據(jù)（1）中求得的直線解析式求證Q點(diǎn)在直線OM上；結(jié)合矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)即可證明；
（3）可以運(yùn)用上述方法作鈍角的補(bǔ)角的三等分線，再進(jìn)一步構(gòu)造60°的角．

解答：解：（1）設(shè)直線OM對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=kx．
根據(jù)題意，得M（b，

1

a

），
則有bk=

1

a

，即k=

1

ab

，
則直線OM對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=

1

ab

x；

（2）根據(jù)題意，得Q（a，

1

b

）．
當(dāng)x=a時(shí)，則y=

1

b

，則Q點(diǎn)在直線OM上；
根據(jù)題意，得四邊形PQRM是矩形，則QS=SR，
∴∠SQR=∠SRQ．
∵OP=PS，
∴∠POS=∠PSO=∠SQR+∠SRQ=2∠MOB，
∴∠MOB=

1

3

∠AOB；

（3）可以運(yùn)用上述方法作鈍角的補(bǔ)角（銳角）的三等分線，再進(jìn)一步構(gòu)造60°的角．
利用60°減去所求的角即是我們要的角度．

點(diǎn)評(píng)：此題在考查三等分角的作法時(shí)，綜合考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法、矩形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)．