Question

某公園有一塊三角形的空地△ABC（如圖），為了美化公園，公園管理處計劃栽種四種名貴花草，要求將空地△ABC劃分成形狀完全相同，面積相等的四塊．”為了解決這一問題，管理員張師傅準備了一張三角形的紙片，描出各邊的中點，然后將三角形ABC的各頂點疊到其對邊的中點上，結果發現折疊后所得到的三角形彼此完全重合．你能說明這種設計的正確性嗎？

Answer 1

解：這種設計是正確的．
證明如下：
∵D、E、F是三邊中點，
∴EF∥BC，DE∥AB，DF∥AC，且EF=BD=CD=BC，
∵EF∥BC
∴∠AEF=∠C，∠DEF=∠EDC，∠BDF=∠EFD，
∵DE∥AB
∴∠EDC=∠B，
∵DF∥AC，
∴∠C=∠BDF
∴∠AEF=∠C=∠BDF=∠DFE，∠AFE=∠B=∠EDC=∠DEF
∴△AFE≌△FBD≌△EDC≌△DEF．
即得到三角形彼此重合．
分析：要證這四個三角形完全重合，即證它們全等，由D、E、F是三邊中點，EF∥BC，DE∥AB，DF∥AC，且EF=BD=CD=BC
由EF∥BC得∠B=∠AFE，∠AEF=∠C，∠DEF=∠EDC，∠BDF=∠EFD．由DE∥AB得∠EDC=∠B，由DF∥AC，得∠C=∠BDF則由（ASA）得△AFE≌△FBD≌△EDC≌△DEF
點評：本題考查了三角形中位線定理，全等三角形的判定，同學們應熟練掌握．