Question

已知如下圖，⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，⊙O₁經過點O₂，E是⊙O₁優弧上的一點，O₂E交⊙O₂于C，交AB于D，又知CD＝1，CE＝2，求O₂E∶O₂D．

Answer 1

答案：
解析：

解：延長CO2交⊙O2于F． 　　∵AB、O2E是⊙O1的兩條相交弦， 　　∴O2D·DE＝AD·DB， 　　∵AB、CF是⊙O2的兩條相交弦， 　　∴AD·DB＝DC·DF， 　　∴O2D·DE＝DC·DF． 　　設O2D＝x． 　　∵CD＝1，CE＝2， 　　∴DE＝3，DF＝O2D＋O2F＝O2D＋O2C＝2x＋1， 　　∴x×3＝1×(2x＋1)， 　　解得x＝1． 　　∴O2D＝1，O2E＝O2D＋DE＝1＋3＝4． 　　∴O2E∶O2D＝4∶1． 　　分析：觀察已知和所求結論，關鍵是求出O2D的長．一般是作輔助線構造相似三角形來解決，若注意到AB和O2E是⊙O1的兩條相交弦，AB和O2C所在的直徑是⊙O2的兩條相交弦，應用相交弦定理進行解決，解法簡潔、明快．