Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=16cm，DE=4cm．動線段DE（端點D從點B開始）沿BC邊以1cm/s的速度向點C運動，當端點E到達點C時運動停止．過點E作EF∥AC交AB于點F（當點E與點C重合時，EF與CA重合），連接DF，設運動的時間為t秒（t≥0）．
（1）直接寫出用含t的代數式表示線段BE、EF的長；
（2）在這個運動過程中，△DEF能否為等腰三角形？若能，請求出t的值；若不能，請說明理由；
（3）設M、N分別是DF、EF的中點，求整個運動過程中，MN所掃過的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由BD=tcm，DE=4cm，可得BE=BD+DE=（t+4）cm，又由EF∥AC，即可得△BEF∽△BAC，然后根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得EF的長；
（2）分三種情況討論：①當DF=EF時，②當DE=EF時，③當DE=DF時，利用等腰三角形的性質與相似三角形的判定與性質，即可求得答案；
（3）首先設P是AC的中點，連接BP，可證得點B，N，P共線，即可得點N沿直線BP運動，MN也隨之平移，設MN從ST位置運動到PQ位置，則四邊形PQST是平行四邊形，然后求得?PQST的面積即為MN所掃過的面積．
解答：解：（1）∵BD=tcm，DE=4cm，
∴BE=BD+DE=（t+4）cm，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BCA，
∴EF：CA=BE：BC，
即EF：10=（t+4）：16，
解得：EF=（t+4）（cm）；

（2）分三種情況討論：
①如圖1，∵當DF=EF時，
∴∠EDF=∠DEF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EF∥AC，
∴∠DEF=∠C，
∴∠EDF=∠B，
∴點B與點D重合，
∴t=0；
②如圖2，當DE=EF時，
則4=（t+4），
解得：t=；
③如圖3，∵當DE=DF時，有∠DFE=∠DEF=∠B=∠C，
∴△DEF∽△ABC．
∴，
即，
解得：t=；
綜上所述，當t=0、或秒時，△DEF為等腰三角形．

（3）如圖4，設P是AC的中點，連接BP，
∵EF∥AC，
∴△FBE∽△ABC．
∴，
∴．
又∵∠BEN=∠C，
∴△NBE∽△PBC，
∴∠NBE=∠PBC．
∴點B，N，P共線，
∴點N沿直線BP運動，MN也隨之平移．
如圖5，設MN從ST位置運動到PQ位置，則四邊形PQST是平行四邊形．
∵M、N分別是DF、EF的中點，
∴MN∥DE，且ST=MN=DE=2．
分別過點T、P作TK⊥BC，垂足為K，PL⊥BC，垂足為L，延長ST交PL于點R，則四邊形TKLR是矩形，
∵當t=0時，EF=（0+4）=，TK=EFsin∠DEF=••=；
當t=12時，EF=AC=10，PL=AC•sin∠C=•10•=3．
∴PR=PL-RL=PL-TK=3-=．
∴S_{平行四邊形PQST}=ST•PR=2×=．
∴整個運動過程中，MN所掃過的面積為cm²．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、三角形中位線的性質、平行四邊形的性質以及矩形的判定與性質等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意掌握分類討論思想、方程思想與數形結合思想的應用，注意掌握輔助線的作法．