Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E為AD中點，連接BE，CE
（1）求證：BE=CE；
（2）若∠BEC=90°，過點B作BF⊥CD，垂足為點F，交CE于點G，連接DG，求證：BG=DG+CD．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E為AD中點，可推出△BAE≌△CDE，得證．
（2）首先延長CD和BE交點H，通過證明三角形全等，證得BG=DG+CD
解答：證明：（1）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E為AD中點，
∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，
在△BAE與△CDE中，
，
∴△BAE≌△CDE，
∴BE=CE；

（2）延長CD和BE的延長線交于H，
∵BF⊥CD，∠HEC=90°，
∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°
∴∠EBF=∠ECH，
又∵∠BEC=∠CEH=90°，
BE=CE（已證），
∴△BEG≌△CEH，
∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，
∵△BAE≌△CDE（已證），
∴∠AEB=∠GED，
∠HED=∠AEB，
∴∠GED=∠HED，
又∵EG=EH（已證），ED=ED，
∴△GED≌△HED，
∴DG=DH，
∴BG=DG+CD．
點評：此題考查的知識點是等腰梯形的性質和全等三角形的判定與性質，此題的關鍵是由等腰梯形的性質證明三角形全等推出結論．