Question

如圖，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的平分線分別交AC、AB于點D、E，CE、BD相交于點F，連接DE．下列結論：
①DE=

1

2

BC；②cos∠BFE=

1

2

；③∠EDF=∠FED；④點F到△ABC三個頂點的距離相等；⑤BE+CD=BC．
其中正確的結論有（　　）個．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：利用三角形的內角和，角平分線的性質可得∠CFD=120°，所以∠BFE=60°，并且有條件易知F為三角形的內心，若想證明BE+CD=BC，只能給BE，CD找相等的線段代替，自然想到構造全等三角形．

解答：解：（1）∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD=∠CBD，∠ACE=∠BCE，
∴∠CBD+∠BCE=60°，
∴∠BFE=60°，
∴②cos∠BFE=

1

2

，正確．
（2）∵∠ABC，∠ACB的平分線分別交AC、AB于點D，E，CE、BD相交于點F，
∴F為三角形的內心，
∴④點F到△ABC三邊的距離相等錯誤．
（3）在BC上截取BH=BE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴△EBF≌△HBF，
∴∠EFB=∠HFB=60°．
由（1）知∠CFB=120°，
∴∠CFH=60°，
∴∠CFH=∠CFD=60°，
又∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴△CDF≌△CHF．
∴CD=CH，
∵CH+BH=BC，
∴⑤BE+CD=BC正確．
∵△CDF≌△CFH，
∴DF=FH，
∵△FEB≌△HFB，
∴FE=FH
∵DF=FH，FE=FH，
∴DF=FE，△DEF為等腰三角形，
∴∠EDF=∠FED
故③正確．
題目現有的條件不能夠證明②AB=BC；④是正確的，所以①④錯誤．
故選C．

點評：本題考查三角形的角平分線，三角形的內心；全等三角形的判斷．特別是全等三角形的判定是證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．并且注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．