Question

如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，以AB所在直線為x軸，過c點的直線為y軸建立平面直角坐標系．此時，A點坐標為（-1，0），B點坐標為（4，0）
（1）試求點C的坐標；
（2）若拋物線y=ax²+bx+c過△ABC的三個頂點，求拋物線的解析式；
（3）點D（1，m）在拋物線上，過點A的直線y=-x-1交（2）中的拋物線于點E，那么在x軸上點B的左側是否存在點P，使以P、B、D為頂點的三角形與△ABE相似？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABC中，OC⊥AB，根據射影定理即可求出OC的長，由此得到C點的坐標；
（2）將A、B、C三點坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數的值，從而確定其解析式；
（3）根據拋物線的解析式，易求得D（1，3）；聯立直線AE的解析式即可求得E點的坐標，此時可發現∠OBD和∠EAB同為45°，對應相等，若以P、B、D為頂點的三角形與△ABE相似，可考慮兩種情況：
①△PBD∽△BAE，②△PBD∽△EAB；根據上述兩種情況所得到的不同比例線段即可求出BP的長，從而確定P點的坐標．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，OC⊥AB，
由射影定理，得：OC²=OA•OB=4，即OC=2，
∴C（0，2）；

（2）∵拋物線經過A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
可設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-4）（a≠0），則有：
2=a（0+1）（0-4），a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

（x+1）（x-4）=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（3）存在符合條件的P點，且P（

13

7

，0）或（-

22

5

，0）．
根據拋物線的解析式易知：D（1，3），
聯立直線AE和拋物線的解析式有：

y=- 1 2 x2+ 3 2 x+2 y=-x-1

，
解得

x=-1 y=0

，

x=6 y=-7

，
∴E（6，-7），
∴tan∠DBO=

3-0

4-1

=1，即∠DBO=45°，tan∠EAB=

0-(-7)

6-(-1)

=1，即∠EAB=45°，
∴∠DBA=∠EAB，
若以P、B、D為頂點的三角形與△ABE相似，則有兩種情況：
①△PBD∽△BAE；②△PBD∽△EAB．
易知BD=3

2

，EA=7

2

，AB=5，
由①得：

PB

AB

=

BD

AE

，即

PB

5

=

3 2

7 2

，即PB=

15

7

，OP=OB-PB=

13

7

，
由②得：

BP′

AE

=

BD

AB

，即

P′B

7 2

=

3 2

5

，即P′B=

42

5

，OP′=OB-BP′=-

22

5

，
∴P（

13

7

，0）或（-

22

5

，0）．

點評：此題主要考查了直角三角形的性質、二次函數解析式的確定以及相似三角形的判定和性質，要注意當相似三角形的對應邊和對應角不確定的情況下需要分類討論，以免漏解．