Question

【題目】如圖，矩形中，，，過對角線中點的直線分別交、于點，．

（1）求證：四邊形是平行四邊形；

（2）當四邊形是菱形時，求菱形的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）20.

【解析】

（1）根據平行四邊形ABCD的性質，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四邊形BEDF的對角線互相平分，進而得出結論；
（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，根據平行四邊形的面積公式即可得到結論．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，O是BD的中點，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中，

，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四邊形BEDF是平行四邊形；

（2）解：當四邊形BEDF是菱形時，
設BE=x，則DE=x，AE=8-x．
在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，

在中，

，，

解得：，即BE=5，

.