Question

已知：一元二次方程x²+kx+k-=0．
（1）求證：不論k為何實數時，此方程總有兩個實數根；
（2）設k＜0，當二次函數y=x²+kx+k-的圖象與x軸的兩個交點A、B間的距離為4時，求此二次函數的解析式；
（3）在（2）的條件下，若拋物線的頂點為C，過y軸上一點M（0，m）作y軸的垂線l，當m為何值時，直線l與△ABC的外接圓有公共點？

Answer 1

（1）證明：∵△=k²-4××（k-）=k²-2k+1=（k-1）²≥0，
∴關于x的一元二次方程x²+kx+k-=0，不論k為何實數時，此方程總有兩個實數根；

（2）令y=0，則x²+kx+k-=0．
∵x_A+x_B=-2k，x_A•x_B=2k-1，
∴|x_A-x_B|===2|k-1|=4，即|k-1|=2，
解得k=3（不合題意，舍去），或k=-1．
∴此二次函數的解析式是y=x²-x-；

（3）由（2）知，拋物線的解析式是y=x²-x-．
易求A（-1，0），B（3，0），C（1，-2），
∴AB=4，AC=2，BC=2．
顯然AC²+BC²=AB²，得△ABC是等腰直角三角形．AB為斜邊，
∴外接圓的直徑為AB=4，
∴-2≤m≤2．
分析：（1）根據一元二次方程的根的判別式△=b²-4ac的符號來判定已知方程的根的情況；
（2）利用根與系數的關系（|x_A-x_B|==4）列出關于k的方程，通過解方程來求k的值；
（3）根據直線與圓的位置的位置關系確定m的取值范圍．
點評：本題綜合考查了二次函數綜合題，其中涉及到的知識點有：拋物線與x軸的交點，待定系數法求二次函數的解析式以及直線與圓的關系，范圍較廣，難度較大．