Question

（2005•成都）如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE⊥DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且AC平分∠EAB．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AB=6，AE=，求BD和BC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證DE是⊙O的切線，只要連接OC，再證∠DCO=90°即可．
（2）已知兩邊長(zhǎng)，求其它邊的長(zhǎng)，可以來三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例來求．
解答：（1）證明：連接OC；
∵AC平分∠EAB，
∴∠EAC=∠BAC；
又在圓中OA=OC，
∴∠AC0=∠BAC，
∴∠EAC=∠ACO，
∴OC∥AE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）；
則由AE⊥DC知OC⊥DC，
即DC是⊙O的切線．

（2）解：∵∠D=∠D，∠E=∠OCD=90°，
∴△DCO∽△DEA，
∴=，
∴=，
∴=，
∴BD=2；
∵Rt△EAC∽R(shí)t△CAB，
∴，
∴
∴AC²=，
由勾股定理得：
BC=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定、相似三角形的性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．