Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于A（﹣1，0），B（m，0）兩點，與y軸相交于點C（0，﹣3），拋物線的頂點為D．

（1）求B、D兩點的坐標；

（2）若P是直線BC下方拋物線上任意一點，過點P作PH⊥x軸于點H，與BC交于點M，設F為y軸一動點，當線段PM長度最大時，求PH+HF+CF的最小值；

（3）在第（2）問中，當PH+HF+CF取得最小值時，將△OHF繞點O順時針旋轉60°后得到△OH′F′，過點F′作OF′的垂線與x軸交于點Q，點R為拋物線對稱軸上的一點，在平面直角坐標系中是否存在點S，使得點D、Q、R、S為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點S的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（3，0），D（1，﹣4）；（2）；（3）存在，S的坐標為（3，0）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，2）或（﹣1，﹣）

【解析】

（1）將A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，待定系數法即可求得拋物線的解析式，再配方即可得到頂點D的坐標，根據y＝0，可得點B的坐標；

（2）根據BC的解析式和拋物線的解析式，設P（x，x2﹣2x﹣3），則M（x，x﹣3），表示PM的長，根據二次函數的最值可得：當x＝時，PM的最大值，此時P（，﹣），進而確定F的位置：在x軸的負半軸了取一點K，使∠OCK＝30°，過F作FN⊥CK于N，當N、F、H三點共線時，如圖2，FH+FN最小，即PH+HF+CF的值最小，根據含30°角的直角三角形的性質，即可得結論；

（3）先根據旋轉確定Q的位置，與點A重合，根據菱形的判定畫圖，分4種情況討論：分別以DQ為邊和對角線進行討論，根據菱形的邊長相等和平移的性質，可得點S的坐標．

（1）把A（﹣1，0），點C（0，﹣3）代入拋物線y＝x2+bx+c，得：

，解得：，

∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴頂點D（1，﹣4），

當y＝0時，x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝3或﹣1，

∴B（3，0）；

（2）∵B（3，0），C（0，﹣3），

設直線BC的解析式為：y＝kx+b，

則 ，解得：，

∴直線BC的解析式為：y＝x﹣3，

設P（x，x2﹣2x﹣3），則M（x，x﹣3），

∴PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，

當x＝時，PM有最大值，此時P（，﹣），

在x軸的負半軸了取一點K，使∠OCK＝30°，過F作FN⊥CK于N，

∴FN＝CF，

當N、F、H三點共線時，如圖1，FH+FN最小，即PH+HF+CF的值最小，

∵Rt△OCK中，∠OCK＝30°，OC＝3，

∴OK＝，

∵OH＝，

∴KH＝+，

∵Rt△KNH中，∠KHN＝30°，

∴KN＝KH＝，

∴NH＝KN＝，

∴PH+HF+CF的最小值=PH+NH＝＝；

（3）Rt△OFH中，∠OHF＝30°，OH＝，

∴OF＝OF'＝，

由旋轉得：∠FOF'＝60°

∴∠QOF'＝30°，

∴在Rt△QF'O中，QF'＝OF'÷=÷＝，OQ=2QF'=2×=1，

∴Q與A重合，即Q（﹣1，0）

分4種情況：

①如圖2，以QD為邊時，由菱形和拋物線的對稱性可得S（3，0）；

②如圖3，以QD為邊時，

由勾股定理得：AD＝，

∵四邊形DQSR是菱形，

∴QS＝AD＝2，QS∥DR，

∴S（﹣1，﹣2）；

③如圖4，同理可得：S（﹣1，2）；

④如圖5，作AD的中垂線，交對稱軸于R，可得菱形QSDR，

∵A（﹣1，0），D（1，﹣4），

∴AD的中點N的坐標為（0，﹣2），且AD＝2，

∴DN＝，

cos∠ADR＝，

∴DR＝，

∴QS= DR＝，

∴S（﹣1，﹣）；

綜上，S的坐標為（3，0）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，2）或（﹣1，﹣）．