Question

在平面直角坐標系xoy中，點C，B的坐標分別為（-4，0），（0，2）．四邊形ABCO是平行四邊形，拋物線過A，B，C三點，與x軸交于另一點D．一動點P以每秒1個單位長度的速度從B點出發沿BA向點A運動，運動到點A停止，同時一動點Q從點D出發，以每秒3個單位長度的速度沿DC向點C運動，與點P同時停止．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若拋物線的對稱軸與AB交于點E，與x軸交于點F，當點P運動時間t為何值時，四邊形POQE是等腰梯形？
（3）當t為何值時，以P，B，O為頂點的三角形與以點Q，B，O為頂點的三角形相似？

Answer 1

分析：（1）由條件先求出A的坐標，再根據待定系數法就可以直接求出拋物線的解析式．
（2）由（1）的解析式求出對稱軸和D的坐標，由條件證明△EOB≌△QEF，得出BP=FQ，建立關于t的等式，即可求出t值．
（3）由條件可以從△PBO∽△QOB或△PBO∽△BOQ進行計算，然后再從P、Q兩點在y軸的同側和異側分別建立等量關系求出結論．

解答：解：（1）∵四邊形ABCO是平行四邊形，∴OC=AB=4．
∴A（4，2），B（0，2），C（-4，0）．
∵拋物線y=ax²+bx+c過點B，∴c=2．
由題意，有

16a-4b+2=0 16a+4b+2=2.

，
解得

a=- 1 16 b= 1 4 .

∴所求拋物線的解析式為y=-

1

16

x2+

1

4

x+2；

（2）將拋物線的解析式配方，得y=-

1

16

(x-2)2+2

1

4

．
∴拋物線的對稱軸為x=2．
當y=0時，x₁=-4，x₂=8
∴D（8，0），E（2，2），F（2，0）．
欲使四邊形POQE為等腰梯形，則有OP=QE，BO=EF．
∴△POB≌△QEF
∴BP=FQ．
∴t=6-3t，即t=

3

2

．

（3）欲使以P、B、O為頂點的三角形與以點Q、B、O為頂點的三角形相似，
∵∠PBO=∠BOQ=90°，
∴△PBO∽△QOB或△PBO∽△BOQ，
∴

BP

OB

=

OQ

BO

或

BP

OB

=

BO

OQ

，
即PB=OQ或OB²=PB•QO．
①若P、Q在y軸的同側．
當PB=OQ時，t=8-3t，
∴t=2．
當OB²=PB•QO時，t（8-3t）=4，即3t²-8t+4=0．
解得t1=2，t2=

2

3

．
②若P、Q在y軸的異側．
當PB=OQ時，3t-8=t，
∴t=4．
當OB²=PB•QO時，t（3t-8）=4，即3t²-8t-4=0．
解得t=

4±2 7

3

．
∵0＜t≤4，
∴t=

4-2 7

3

舍去，
∴t=

4+2 7

3

．
∴當t=2或t=

2

3

或t=4或t=

4+2 7

3

秒時，以P、B、O為頂點的三角形與以點Q、B、O為頂點的三角形相似．

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了待定系數法求二次函數的解析式，平行四邊形的性質和等腰梯形的性質的運用，相似三角形的判定與性質和全等三角形的判定與性質的運用及數學分類思想的運用．