Question

（按非課改要求命制）如圖，CD是⊙O的弦，點P在弦CD上，點A是弧CD的中點，過點P作PA⊥OP交⊙O于點A，已知，CP=2cm，PD=8cm，則PA=    cm．

Answer 1

【答案】分析：由于點A是弧CD的中點，所以AO與CD垂直，又因為CP=2cm，PD=8cm，所以CD=10cm，CM=5，根據勾股定理，設OC=r，OM=x，則r²-x²=25，在△OPM中，OP²=x²+9，由于PA⊥OP，所以OP²+AP²=r²，聯立以上三個式子，即可求出AP=4．
解答：解：如圖，連接OA，OC．
∵點A是弧CD的中點，
AO⊥CD，
又∵CP=2cm，PD=8cm，
∴CD=10cm，CM=5cm，
根據勾股定理，設OC=r，OM=x，
則r²-x²=25，①
在△OPM中，OP²=x²+9，②
∵PA⊥OP，
∴OP²+AP²=r²，③
聯立①②③，
即可求出AP=4cm．
點評：解決與弦有關的問題時，往往需構造以半徑、弦心距和弦長的一半為三邊的直角三角形，若設圓的半徑為r，弦長為a，這條弦的弦心距為d，則有等式r²=d²+（）²成立，知道這三個量中的任意兩個，就可以求出另外一個．