Question

（9分）等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，點A、點B分別是x軸、y軸兩個動點，直角邊AC交x軸于點D，斜邊BC交y軸于點E；

（1）如圖（1），若A（0，1），B（2，0），求C點的坐標；

（2）如圖（2），當等腰Rt△ABC運動到使點D恰為AC中點時，連接DE，求證：∠ADB=∠CDE

（3）如圖（3），在等腰Rt△ABC不斷運動的過程中，若滿足BD始終是∠ABC的平分線，試探究：線段OA、OD、BD三者之間是否存在某一固定的數量關系，并說明理由.

Answer 1

（1）C（－1，－1） ；（2）∠ADB=∠CDE ；（3）BD=2（OA +OD）

【解析】

思路點撥：（1）過點C作CF⊥y軸于點F通過證△ACF≌△ABO得CF=OA=1，AF=OB=2，求得OF的值，就可以求出C的坐標；

（2）過點C作CG⊥AC交y軸于點G，先證明△ACG≌△ABD就可以得出CG=AD=CD，∠DCE=∠GCE=45°，再證明△DCE≌△GCE就可以得出結論；

（3）在OB上截取OH=OD，連接AH，由對稱性得AD=AH，∠ADH=∠AHD，可證∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO，在證明△ACE≌△BAH就可以得出結論

試題分析：（1）過點C作CF⊥y軸于點F

通過證△ACF≌△ABO（AAS）

得CF=OA=1，AF=OB=2

∴OF=1，

∴C（－1，－1）

（2）過點C作CG⊥AC交y軸于點G

通過證△ACG≌△ABD（ASA）

得 CG=AD=CD ∠ADB=∠G

由 ∠DCE=∠GCE=45°

可證△DCE≌△GCE（SAS）得∠CDE=∠G

∴∠ADB=∠CDE

（3） BD=2（OA +OD）

在OB上截取OH=OD,連接AH

由對稱性得AD=AH, ∠ADH=∠AHD

可證∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO

∴∠AEC=∠BHA

又∵AB=AC ∠CAE=∠ABH

∴△ACE≌△BAH（AAS）

∴AE=BH=2OA

∵DH=2OD

∴BD=2（OA +OD）

考點：全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；直角三角形的性質