Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，以B為圓心的圓交OB于C，交⊙O于E、F，交AB的延長線于D，連接EC并延長交⊙O于G，
（1）求證：AE是⊙B的切線；
（2）求證：EG平分∠AEF；
（3）若M為AO上一點，且GM∥BE，求證：GM等于⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明AE是⊙B的切線，只要證明AE⊥BE即可，可以通過角之間的關系求得∠CEF=∠AEC即EG平分∠AEF．
（2）要證明GM等于⊙O的半徑，可以先連接OG，再根據角之間的關系從而得到∠MOG=∠OMG，根據等角對等邊即可得到GM=GO即GM等于⊙O的半徑．
解答：證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
即AE⊥BE，
又∵BE是⊙B的半徑，
∴AE是⊙B的切線．

（2）連接CF；
∵AE是⊙B的切線，
∴∠CFE=∠AEC；
∵EF是公共弦，O、B為圓心，
∴OB平分EF，
∴弧EC=弧CF，
∴∠CFE=∠CEF=∠AEC，即EG平分∠AEF；

（3）連接OG；
∵MG∥BE，
∴∠BMG=∠MBE；
∵∠AEB=90°，且AB⊥EF，
∴∠AEF=∠MBE，
∴∠MOG=2∠AEG=∠AEF=∠MBE=∠OMG，
∵GM=GO，
∴GM等于⊙O的半徑．
點評：此題主要考查學生對切線的判定及圓心角，弧，弦的關系的理解及運用．