Question

如圖，已知等腰梯形ABNC的邊AB在x軸上，點C在y軸的正方向上，C（0，6），
N （4，6），且AC=．
（1）求點A的坐標；
（2）若二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過A、C、B三點，求二次函數的解析式，并寫出頂點M的坐標；
（3）點P是這個二次函數的對稱軸上一動點，請探索：是否存在這樣的點P，使P點到直線BC與x軸的距離相等？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在△AOC中，運用勾股定理求OA即可；
（2）根據梯形，拋物線的對稱性求B點坐標，再設拋物線的交點式，把C點坐標代入求拋物線解析式，將解析式配方求頂點M坐標；
（3）設直線BC與拋物線對稱軸交于F點，直線BC與x軸夾角為45°，則P點到直線BC=，根據題意列方程求P點坐標．
解答：解：（1）在Rt△AOC中，∵AC=，OC=6，∴AO=2，∴A（-2，0）；

（2）由等腰梯形的對稱性可知OB=CN+OA=4+2=6，即B（6，0），
設拋物線解析式為y=a（x+2）（x-6），將C（0，6）代入，得a=-，
∴y=-（x+2）（x-6），即y=-x²+2x+6=-（x-2）²+8，頂點M（2，8）；

（3）存在．
如圖，設直線BC與拋物線對稱軸交于F點，直線BC解析式為y=-x+6，與x軸夾角為45°，F（2，4），
設P（2，m）則PF=|4-m|，
由等腰直角三角形的性質可知，P點到直線BC=，
依題意，得|m|=，解得m=4-4或-4-4．

點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據題意求A點坐標及拋物線解析式，判斷△OBC為等腰直角三角形，利用特殊三角形的性質求解．