Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD，邊AD、BC的垂直平分線相交于點O．連接OA、OB、OC、OD．OE是邊CD的中線，且∠AOB+∠COD＝180°

（1）如圖2，當△ABO是等邊三角形時，求證：OE＝AB；

（2）如圖3，當△ABO是直角三角形時，且∠AOB＝90°，求證：OE＝AB；

（3）如圖4，當△ABO是任意三角形時，設∠OAD＝α，∠OBC＝β，

①試探究α、β之間存在的數量關系？

②結論“OE＝AB”還成立嗎？若成立，請你證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）①α+β＝90°；②成立，理由詳見解析．

【解析】

(1)作OH⊥AB于H，根據線段垂直平分線的性質得到OD=OA，OB=OC，證明△OCE≌△OBH，根據全等三角形的性質證明；

(2)證明△OCD≌△OBA，得到AB=CD，根據直角三角形的性質得到OE=CD，證明即可；

(3)①根據等腰三角形的性質、三角形內角和定理計算；

②延長OE至F，是EF=OE，連接FD、FC，根據平行四邊形的判定和性質、全等三角形的判定和性質證明．

(1)作OH⊥AB于H，

∵AD、BC的垂直平分線相交于點O，

∴OD=OA，OB=OC，

∵△ABO是等邊三角形，

∴OD=OC，∠AOB=60°，

∵∠AOB+∠COD＝180°

∴∠COD=120°，

∵OE是邊CD的中線，

∴OE⊥CD，

∴∠OCE=30°，

∵OA=OB，OH⊥AB，

∴∠BOH=30°，BH=AB，

在△OCE和△BOH中，

，

∴△OCE≌△OBH，

∴OE=BH，

∴OE=AB；

(2)∵∠AOB=90°，∠AOB+∠COD=180°，

∴∠COD=90°，

在△OCD和△OBA中，

，

∴△OCD≌△OBA，

∴AB=CD，

∵∠COD=90°，OE是邊CD的中線，

∴OE=CD，

∴OE=AB；

(3)①∵∠OAD=α，OA=OD，

∴∠AOD=180°﹣2α，

同理，∠BOC=180°﹣2β，

∵∠AOB+∠COD=180°，

∴∠AOD+∠COB=180°，

∴180°﹣2α+180°﹣2β=180°，

整理得，α+β=90°；

②延長OE至F，使EF=OE，連接FD、FC，

則四邊形FDOC是平行四邊形，

∴∠OCF+∠COD=180°，，

∴∠AOB=∠FCO，

在△FCO和△AOB中，

，

∴△FCO≌△AOB，

∴FO=AB，

∴OE=FO=AB．