Question

如圖，⊙O的直徑AB和弦CD相交于E，若AE=2，BE=6，∠CEA=30°，則CD的長為    ；C點到AB的距離與D點到AB距離的比為    ．

Answer 1

【答案】分析：連接OD，作OF⊥DE于F，根據已知條件可得圓的半徑是4，從而得到OE=2，再根據30°所對的直角邊等于斜邊的一半得到OF=1，然后在Rt△DOF中，利用勾股定理求出DF的長度，即可得到CD的長度；
過點D作DH⊥AB于H，過點C作CG⊥AB于G，先求出EF的長度，然后表示出CE、DE，根據相似三角形對應邊成比例列式再分母有理化即可得解．
解答：解：（1）連接OD，作OF⊥DE于F，
∵AE=2，BE=6，
∴AB=2+6=8，
∴圓的半徑是4，
∴OE=4-2=2，
∵∠CEA=30°，
∴OF=OE=1，
在Rt△DOF中，DF===，
∴CD=2DF=2；

（2）過點D作DH⊥AB于H，過點C作CG⊥AB于G，
在Rt△OEF中，EF===，
∵CG⊥AB，DH⊥AB，
∴∠CGE=∠DHE=90°，
又∠CEG=∠DEH，
∴△CGE∽△DEH，
∴=，
即===．
故答案為：．
點評：本題考查了圓周角定理，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，相似三角形對應邊成比例，垂徑定理，讀懂題意，看明白圖形是解題的關鍵．