Question

已知關于x的方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0
①求證：不論k為何值，此方程總有兩個不相等的實數根；
②若△ABC中，AB、AC的長是已知方程的兩個實數根，第三邊BC的長為5．問：k為何值時，△ABC是直角三角形？

Answer 1

（1）證明：△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）
=1，
∵△＞0，
∴不論k為何值，此方程總有兩個不相等的實數根；
（2）x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的解為x=

2k+3±1

2

，
∴x₁=k+2，x₂=k+1，
設AB=k+2，AC=k+1，
當AB²+AC²=BC²，即（k+2）²+（k+1）²=5²，解得k₁=-5，k₂=2，由于AB=k+2＞0，AC=k+1＞0，所以k=2；
當AB²+BC²=AC²，即（k+2）²+5²=（k+1）²，解得k=-14，由于AB=k+2＞0，AC=k+1＞0，所以k=-14舍去；
當AC²+BC²=AB²，即（k+1）²+5²=（k+2）²，解得k=11，由于AB=k+2=13，AC=12，所以k=11，
∴k為2或11時，△ABC是直角三角形．