Question

（2012•豐澤區質檢）如圖，已知拋物線y=-

1

4

x2+bx+4經過點（-2，0），與y軸交于A點，與x軸交于B、C兩點．
（1）求b的值；
（2）設以線段BC為直徑的圓的圓心為點D，試判斷點A與⊙D的位置關系，并說明理由；
（3）設P是拋物線上一個動點，且點P位于第一象限內，求當四邊形PAOC的面積最大時，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線經過點（-2，0），代入即可得出b的值；
（2）先求出點D、點A的坐標，然后求出DA的長，將DA的長與⊙D的半徑進行比較即可．
（3）設出點P坐標，然后可得S_PAOC=S_△PAO+S_△POC，從而得出關于x的二次函數，利用配方法求最值即可，從而可得出點P的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

1

4

x2+bx+4經過點（-2，0），
∴-

1

4

×（-2）²+b×（-2）+4=0，
解得：b=

3

2

．
（2）令-

1

4

x2+

3

2

x+4=0，
解得：x₁=-2，x₂=8，
故點B（-2，0），C（8，0），也可得出BC=10，D（3，0），
即⊙D的半徑R=5，
令x=0得：y=4，即OA=4，
∵AD=

OA2+OD2

=

42+32

=5=R，
∴點AD 在⊙D上．
（3）連接OP，設P（x，-

1

4

x²+

3

2

x+4），

則四邊形PAOC的面積為：S_PAOC=S_△PAO+S_△POC=

1

2

OA×x+

1

2

OC×（-

1

4

x²+

3

2

x+4）
=2x+4（-

1

4

x²+

3

2

x+4）
=-x²+8x+16
=-（x+4）²+32，
故當x=4，即P的坐標為（4，6）時，S_{四邊形PAOC}最大．

點評：此題考查了二次函數綜合題，涉及了待定系數法求函數解析式、點與圓的位置關系及二次函數的最值，難點在第三問，要注意將不規則圖形分成兩個三角形，從而轉化后利用函數的最值計算，難度較大．