Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠B=30°．
（1）把△ABC繞點A按順時針方向旋轉，得△AB′C′，B′C′交AB于點D．
①若BC=3，旋轉角為30°，求C′D的長；
②若點B經過的路徑與AB，AB′所圍圖形的面積與△ABC面積的比值是

3

3

π，求∠BDB′的度數；
（2）點P在邊AC上，CP：PA=

3

：2．把△ABC繞著點P逆時針旋轉n（0°＜n＜180°）后，如果點A恰好落在初始Rt△ABC的邊上，求n的值．

Answer 1

分析：（1）①首先求出AC的長，進而得出AC′=AC，∠C′=90°，得出C′D=AC′•tan30°=1；
②利用AB′所圍圖形的面積與△ABC面積的比值是

3

3

π，得出n的度數即可；
（2）分別根據等邊三角形的判定得出，∠APA₁=60°，再利用CP：PA=

3

：2，得出∠CPA₂=30°，即可得出答案．

解答：解：（1）①∵∠C=Rt∠，∠B=30°，BC=3，
∴AC=BC•tan30°=3×

3

3

=

3

，
又∵∠CAC′=30°，
∴∠C′AD=30°
而AC′=AC，∠C′=90°，
∴C′D=AC′•tan30°=1；

②如圖1，設AC=k，則BC=

3

k，AB=2k，旋轉角的度數為n，
則

nπ×22 360

1 2 ×1× 3

=

3

3

π，
∴n=45°，
∴∠BDB′=45°+30°=75°；

（2）如圖2，∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°
∵PA=PA₁，
∴∠APA₁=60°，
∵CP：PA=

3

：2，PA=PA₂
∴CP：PA2=

3

：2，
∴∠CPA₂=30°，
∴∠APA₂=150°，
∴n=60°或150°．

點評：此題主要考查了圖形的旋轉以及扇形面積公式和銳角三角函數的關系等知識，注意數形結合分析得出是解題關鍵．