Question

如圖，已知矩形的周長是20，對角線長是x．

(1)試把矩形的面積S用關于x的代數式表示；

(2)確定對角線x的取值范圍；

(3)當x為何值時，矩形的面積最大？

Answer 1

答案：
解析：

解： 　　(1)如圖，設矩形的兩鄰邊長分別為a，b，則a＋b＝10，a2＋b2＝x2 　　∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，∴100＝x2＋2S． 　　∴S＝x2＋50 　　(2)∵x2＝a2＋b2＝a2＋(10－a)2 　　＝2a2－20a＋100＝2(a－5)2＋50， 　　∴當a＝5時，x最小，最小值為． 　　又由三角形三邊關系，得x＜a＋b＝10．∴對角線x的取值范圍是≤x＜10． 　　(3)由(1)(2)知，當x＝時，矩形的面積最大，最大面積為25． 　　第(3)另解1：∵S＝ab＝a(10－a)＝－a2＋10a＝－(a－5)2＋25≤25，∴當a＝5時，S＝25， 　　即當a＝5，b＝5，亦即x＝時，矩形的面積最大，為25． 　　另解2：由(2)得x2≥50，∴S＝x2＋50≤×50＋50＝25．其中當x2＝50， 　　即x＝時，S最大＝25． 　　說明：本題隱含著一個著名的幾何定理：周長一定的多邊形中，以正多邊形的面積為最大．