Question

若⊙P與函數圖象有且只有一個公共點，并且與x軸、y軸都相切的圓，則稱⊙P是這個函數的伴圓．
（1）如圖1，求y=

( 2 +1)2

x

的伴圓的圓心P的坐標及半徑r；
（2）如圖2，⊙P的半徑為1，若⊙P是二次函數y=ax²+bx+c的伴圓，寫出滿足要求的開口方向不同的兩個二次函數的解析式；
（3）如圖3，求一次函數y=-

3

4

x+3的所有伴圓的圓心P的坐標及半徑．

Answer 1

分析：（1）本題需先根據題意求出y=x與y=

( 2 +1)2

x

在第一象限的交點坐標Q(

2

+1，

2

+1)即可．
（2）本題需先根據已知條件，分別寫出二次函數的解析式即可．
（3）根據圖形可知，x=0時，y=3；y=0時，x=4，得出OA、OB、AB的值，再分四種情況進行討論，分別得出所求的結果．

解答：解：（1）在一、三象限內，到x軸、y軸距離相等的點在y=x上，y=x與y=

( 2 +1)2

x

在第一象限的交點坐標Q(

2

+1，

2

+1)．
∴r+

2

r=

2

(

2

+1)，解得：r=

2

，P(

2

，

2

)，
同理伴圓在第三象限時，P(-

2

，-

2

)；

（2）y=-（x-1）²，y=（x-1）²+2的伴圓均為⊙P，
y=a（x-1）²，（a＜0）；
y=a（x-1）²+2，（a＞0）的伴圓也都是⊙P；

（3）
∵x=0時，y=3；y=0時，x=4，
∴OA=3，OB=4，AB=5．
①∵S△P1OA+S△P1OB+S△P1AB=S△OAB，
∴

1

2

r1(3+4+5)=

1

2

×3×4，
解得：r₁=1，∴P₁（1，1）；
②∵S△P2OA-S△P2OB+S△P2AB=S△OAB，
∴

1

2

r2(3-4+5)=

1

2

×3×4，
解得：r₂=3，∴P₂（3，-3）；
③∵-S△P3OA+S△P3OB+S△P3AB=S△OAB，
∴

1

2

r3(-3+4+5)=

1

2

×3×4，
解得：r₃=2，∴P₃（-2，2）；
④∵S△P4OA+S△P4OB-S△P4AB=S△OAB，
∴

1

2

r4(3+4-5)=

1

2

×3×4，
解得：r₄=6，∴P₄（6，6）．

點評：本題主要考查了二次函數的綜合應用，在解題時要注意二次函數和圓的有關知識的聯系．