Question

觀察：

1

2

=

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

20

=

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，

1

30

=

1

5×6

=

1

5

-

1

6

，…
（1）猜想：請你猜想出表示（1）中的特點的一般規律，用含x（x表示整數）的等式表示出來

 

．
（2）驗證：
（3）運用：請利用上述規律，解方程

1

(x-4)(x-3)

+

1

(x-3)(x-2)

+

1

(x-2)(x-1)

+

1

(x-1)x

+

1

x(x+1)

=

1

x+1

解：原方程可變形如下：
（4）拓展：計算

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2009×2011

．

Answer 1

分析：（1）根據題意觀察，即可得到規律：

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

（x表示整數）；
（2）利用分式的加減運算，即可驗證猜想的準確性；
（3）利用規律，將原方程化為：

1

x-4

-

1

x+1

=

1

x+1

，解此分式方程即可求得答案；
（4）利用規律化簡原式即求得答案．

解答：解：觀察：

1

2

=

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

20

=

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，

1

30

=

1

5×6

=

1

5

-

1

6

，
（1）猜想：請你猜想出表示（1）中的特點的一般規律，用含x（x表示整數）的等式表示出來

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

（x表示整數）；

（2）驗證：右邊=

1

x

-

1

x+1

=

x+1

x(x+1)

-

x

x(x+1)

=

x+1-x

x(x+1)

=

1

x(x+1)

=左，
∴猜想正確；

（3）解：原方程可變形如下：

1

x-4

-

1

x-3

+

1

x-3

-

1

x-2

+

1

x-2

-

1

x-1

+

1

x-1

-

1

x

+

1

x

-

1

x+1

=

1

x+1

，
∴

1

x-4

-

1

x+1

=

1

x+1

，
解得x=9
經檢驗：方程的根是x=9；
∴原方程的根為：x=9；

（4）原式=

1

2

(

1

1

-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2009

-

1

2011

)=

1

2

(1-

1

2011

)=

1005

2011

．

點評：此題考查了分式方程與分式的運算等知識．注意找到規律：

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

是解此題的關鍵．