Question

如圖,在平面直角坐標系中,矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上,OA=4,OC=2．點P從點O出發,沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動,當點P到達點A時停止運動,設點P運動的時間是t秒．將線段CP的中點繞點P按順時針方向旋轉90°得點D,點D隨點P的運動而運動,連接DP、DA．

（1）請用含t的代數式表示出點D的坐標；
（2）求t為何值時,△DPA的面積最大,最大為多少？
（3）在點P從O向A運動的過程中,△DPA能否成為直角三角形？若能,求t的值．
若不能,請說明理由；
（4）請直接寫出隨著點P的運動,點D運動路線的長．

Answer 1

（1）D坐標為（t+1,）；（2）當t=2時,△DPA的面積最大,最大值為1；（3）經過2秒或3秒時,△PAD是直角三角形；(4)點D運動路線的長為．

試題分析：（1）設出P點坐標,再求出CP的中點坐標,根據相似的性質即可求出D點坐標；
（2）根據題意求出△DPA的面積,分析函數解析式求出最值；
（3）先判斷出可能為直角的角,再根據勾股定理求解；
（4）根據點D的運動路線與OB平行且相等解答即可．
試題解析：（1）∵點P從點O出發,沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動,
∴OP=t,而OC=2,
∴P（t,0）,
設CP的中點為F,則F點的坐標為（,1）,
∴將線段CP的中點F繞點P按順時針方向旋轉90°得點D,其坐標為（t+1,）；
（2）S=  
∴當t=2時,S最大,最大值為1
（3）∵∠CPD=90⁰,∴∠DPA+∠CPO=90⁰,∴∠DPA≠90⁰,故有以下兩種情況：
①當∠PDA=90⁰時,由勾股定理得,
又,,
, 
即,解得（不合題意,舍去）
②當∠PAD=90⁰時,點D在BA上,故AE=3－t,得t=3
綜上,經過2秒或3秒時,△PAD是直角三角形；
（4）∵根據點D的運動路線與OB平行且相等,OB=,
∴點D運動路線的長為．