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如圖,直線AB與反比例函數y=數學公式在第一為象限內交于點P,點P的橫坐標為6,直線AB與x軸、y軸分別交于A、B兩點,且tan∠ABO=1
(1)直接寫出點P的坐標;
(2)求出直線AB的解析式;
(3)C為線段AB上一點,過C作y軸的平行線交反比例函數y=數學公式的圖象于D點,連接DP,求點C的坐標為多少時,△CDP是直角等腰三角形?

解:(1)∵P點在反比例函數y=的圖象上,
∴xy=12,
∵點P的橫坐標為6,
∴y=2,
∴P(6,2);

(2)過P作PE⊥x軸于E點,
∵tan∠ABO=1,
∴∠ABO=45°,
∴∠BAO=∠ABO=∠PAE=45°,
∵P(6,2),
∴PE=AE=2,
∴A(4,0),
設直線AB的解析式為y=kx+b 且過A(4,0),P(6,2),
,
解得:,
∴y=x-4;

(3)要使△CDP是等腰直角三角形,只能∠DPC=90°,
設 C(m,m-4),則D(m,),
過P作PF⊥CD于F,則F(m,2),
∵PD=PC,PF⊥CD,
∴DF=CF,
-2=2-(m-4),
∴m2-8m+12=0
(m-2)(m-6)=0
∴m1=2,m2=6(不合題意,舍去)
∴當C(2,-2)時,△CDP為等腰直角三角形.
分析:(1)利用待定系數法把點P的橫坐標為6,代入反比例函數解析式即可;
(2)首先過P作PE⊥x軸于E點,根據tan∠ABO=1可得∠BAO=∠ABO=∠PAE=45°,再根據P點坐標可得到AE=PE=2,進而得到A點坐標,再利用待定系數法把A、P兩點的坐標代入一次函數解析式,求出k、b的值,即可得到函數解析式;
(3)要使△CDP是等腰直角三角形,只能∠DPC=90°,根據C、D點所在函數解析式了可設 C(m,m-4),D(m,),過P作PF⊥CD于F,則F(m,2),再根據等腰三角形三線合一的性質可得-2=2-(m-4),解方程即可求出m的值,進而可得到點C的坐標.
點評:此題主要考查了一次函數,反比例函數,以及等腰直角三角形,解決問題的關鍵是求出直線BP的解析式,結合解析式理清點C、D、F的坐標關系.
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kx
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12
x
在第一為象限內交于點P,點P的橫坐標為6,直線AB與x軸、y軸分別交于A、B兩點,且tan∠ABO=1
(1)直接寫出點P的坐標;
(2)求出直線AB的解析式;
(3)C為線段AB上一點,過C作y軸的平行線交反比例函數y=
12
x
的圖象于D點,連接DP,求點C的坐標為多少時,△CDP是直角等腰三角形?

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(1)直接寫出點P的坐標;
(2)求出直線AB的解析式;
(3)C為線段AB上一點,過C作y軸的平行線交反比例函數y=的圖象于D點,連接DP,求點C的坐標為多少時,△CDP是直角等腰三角形?

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