Question

如圖，直線AB與反比例函數y=在第一為象限內交于點P，點P的橫坐標為6，直線AB與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且tan∠ABO=1
（1）直接寫出點P的坐標；
（2）求出直線AB的解析式；
（3）C為線段AB上一點，過C作y軸的平行線交反比例函數y=的圖象于D點，連接DP，求點C的坐標為多少時，△CDP是直角等腰三角形？

Answer 1

解：（1）∵P點在反比例函數y=的圖象上，
∴xy=12，
∵點P的橫坐標為6，
∴y=2，
∴P（6，2）；

（2）過P作PE⊥x軸于E點，
∵tan∠ABO=1，
∴∠ABO=45°，
∴∠BAO=∠ABO=∠PAE=45°，
∵P（6，2），
∴PE=AE=2，
∴A（4，0），
設直線AB的解析式為y=kx+b 且過A（4，0），P（6，2），
，
解得：，
∴y=x-4；

（3）要使△CDP是等腰直角三角形，只能∠DPC=90°，
設 C（m，m-4），則D（m，），
過P作PF⊥CD于F，則F（m，2），
∵PD=PC，PF⊥CD，
∴DF=CF，
∴-2=2-（m-4），
∴m²-8m+12=0
（m-2）（m-6）=0
∴m₁=2，m₂=6（不合題意，舍去）
∴當C（2，-2）時，△CDP為等腰直角三角形．
分析：（1）利用待定系數法把點P的橫坐標為6，代入反比例函數解析式即可；
（2）首先過P作PE⊥x軸于E點，根據tan∠ABO=1可得∠BAO=∠ABO=∠PAE=45°，再根據P點坐標可得到AE=PE=2，進而得到A點坐標，再利用待定系數法把A、P兩點的坐標代入一次函數解析式，求出k、b的值，即可得到函數解析式；
（3）要使△CDP是等腰直角三角形，只能∠DPC=90°，根據C、D點所在函數解析式了可設 C（m，m-4），D（m，），過P作PF⊥CD于F，則F（m，2），再根據等腰三角形三線合一的性質可得-2=2-（m-4），解方程即可求出m的值，進而可得到點C的坐標．
點評：此題主要考查了一次函數，反比例函數，以及等腰直角三角形，解決問題的關鍵是求出直線BP的解析式，結合解析式理清點C、D、F的坐標關系．