Question

如圖，AD是△ABC的高，點P，Q在BC邊上，點G在AC邊上，點F在AB邊上，BC=60cm，AD=30cm，四邊形PQGF是正方形．
（1）△AFG與△ABC相似的嗎？為什么？
（2）FP：BC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四邊形PQGF是正方形，即可得FG∥PQ，由平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似，即可證得△AFG與△ABC相似；
（2）首先設PF=FG=PQ=xcm，然后由相似三角形對應高的比等于相似比，即可求得x的值，繼而求得FP：BC的值．
解答：解：（1）△AFG∽△ABC．
理由：∵四邊形PQGF是正方形，
∴FG∥PQ，即FG∥BC，
∴△AFG∽△ABC；

（2）∵四邊形PQGF是正方形，
∴設PF=FG=PQ=xcm，FG∥PQ，
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，AD⊥FG，
∴四邊形EFPD是矩形，
∴DE=PF=xcm，
∴AE=AD-DE=30-x（cm），
∵△AFG∽△ABC，
∴，
即，
解得：x=20，即FP=20cm，
∴FP：BC=20：60=1：3．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、正方形的性質以及矩形的判定與性質．此題難度適中，解題的關鍵是掌握數形結合思想與方程思想的應用．