Question

已知：如圖，△ABC中，點D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，==：
（1）若BE平分∠ABC，試說明四邊形DBFE的形狀，并加以證明；
（2）若點G為△ABC的重心，且△BCG與△EFG的面積之和為20，求△BCG的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由△ABC中，==，可得FE∥BC，DE∥AB，即可判定四邊形DBFE是平行四邊形，又由BE平分∠ABC，可證得BF=EF，即可判定四邊形DBFE是菱形；
（2）由FE∥BC，可得△EFG∽△BCG，又由相似三角形面積的比等于相似比的平方，可得=（）²，然后由點G為△ABC的重心，可得FG：GC=1：2，可得S_△BCG=4S_△EFG．又由△BCG與△EFG的面積之和為20，即可求得答案．
解答：解：（1）四邊形DBFE是菱形．…（1分）
證明：∵△ABC中，==，
∴FE∥BC，DE∥AB，…（2分）
∴四邊形DBFE是平行四邊形，…（1分）
又∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE=∠DBE，
∵FE∥BC，
∴∠FEB=∠DBE，…（1分）
∴∠FBE=∠FEB，…（1分）
∴BF=EF，…（1分）
∴四邊形DBFE是菱形；

（2）∵FE∥BC，
∴△EFG∽△BCG，…（1分）
∴=（）²，…（1分）
∵點G為△ABC的重心，
∴=，…（1分）
∴=（）²=，
∴S_△BCG=4S_△EFG．…（1分）
∵S_△EFG+S_△BCG=20，
∴S_△BCG=16．…（1分）
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、三角形重心的性質以及菱形的判定．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．