Question

【題目】如圖，直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C，經過B、C兩點的拋物線y=x2+bx+c與x軸的另一個交點為A，頂點為P．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）連接AC，在x軸上是否存在點Q，使以P、B、Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=x2﹣4x+3；（2）Q點的坐標為（0，0）或（，0）．

【解析】

試題分析：（1）先確定出點B，C坐標，再用待定系數法求函數解析式；

（2）先求出BA=2，BC=3，BP=，然后分兩種情況①由△ABC∽△PBQ，得到，求出BQ，②由△ABC∽△QBP得，求出BQ，即可．

解：（1）∵直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C，

令x=0，得y=3，

∴C（0，3），

令y=0，得x=3，

∴B（3，0），

∵經過B、C兩點的拋物線y=x2+bx+c

∴，

解得，

∴拋物線解析式為y=x2﹣4x+3；

（2）由（1），得A（1，0），連接BP，

∵∠CBA=∠ABP=45°，

∵拋物線解析式為y=x2﹣4x+3；

∴P（2，﹣1），

∵A（1，0），B（3，0），C（0，3），

∴BA=2，BC=3，BP=，

當△ABC∽△PBQ時，

∴，

∴，

∴BQ=3，

∴Q（0，0），

當△ABC∽△QBP時，

∴，

∴，

∴BQ=，

∴Q（，0），

∴Q點的坐標為（0，0）或（，0）．