Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點E為邊BC的上一動點，作AF⊥DE交DE、DC分別于P、F點，連PC

（1）若點E為BC的中點，求證：F點為DC的中點；
（2）若點E為BC的中點，PE=6，PC=4 ，求PF的長；
（3）若正方形邊長為4，直接寫出PC的最小值 ．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=CD=BC，∠ADC=∠C=90°，

∵AF⊥DE，

∴∠APD=∠DPF=90°，

∴∠ADP+∠DAF=90°，∠ADP+∠EDC=90°，

∴∠DAF=∠EDC，

在△ADF和△DCE中，

，

∴△ADF≌DCE，

∴DF=CE，

∵EC= BC，BC=DC，

∴DF= DC，

∴F點為DC的中點；

（2）

解：如圖1中，設PF=a，

易知△DPF∽△APD∽△ADF，

∴PF：DP=DP：AP=DF：AD=1：2，

∴DP=2a，AP=4a，AF=DE=5a，

∴PE=3a=6，

∴a=2，

∴PF=2．

（3）2 ﹣2
【解析】（3）解：如圖2中，作△ADP的外接圓⊙H，連接CH，PH，EF．

∵∠EPF=∠ECF=90°，
∴P、E、C、F在以EF為直徑的⊙O上，
∵PH+PC≥CH，PH=2，CH= =2 ，
∴C、P、H共線時，PC的值最小，最小值為2 ﹣2．
所以答案是2 ﹣2．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解全等三角形的性質的相關知識，掌握全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等，以及對正方形的性質的理解，了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．