Question

【題目】如圖1，水平放置一個三角板和一個量角器，三角板的邊AB和量角器的直徑DE在一條直線上，∠ACB=90°，∠BAC=30°，OD=3cm，開始的時候BD=1cm，現在三角板以2cm/s的速度向右移動．

（1）當點B于點O重合的時候，求三角板運動的時間；

（2）三角板繼續向右運動，當B點和E點重合時，AC與半圓相切于點F，連接EF，如圖2所示．

①求證：EF平分∠AEC；

②求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）2s（2）①證明見解析，②

【解析】試題分析：（1）由當點B于點O重合的時候，BO=OD+BD=4cm，又由三角板以2cm/s的速度向右移動，即可求得三角板運動的時間；

（2）①連接OF，由AC與半圓相切于點F，易得OF⊥AC，然后由∠ACB=90°，易得OF∥CE，繼而證得EF平分∠AEC；②由△AFO是直角三角形，∠BAC=30°，OF=OD=3cm，可求得AF的長，由EF平分∠AEC，易證得△AFE是等腰三角形，且AF=EF，則可求得答案．

試題解析：(1)∵當點B于點O重合的時候，BO=OD+BD=4cm，

∴t=42=2(s)；

∴三角板運動的時間為：2s；

(2)①證明：連接O與切點F，則OF⊥AC，

∵∠ACE=90°，

∴EC⊥AC，

∴OF∥CE，

∴∠OFE=∠CEF，

∵OF=OE，

∴∠OFE=∠OEF，

∴∠OEF=∠CEF，

即EF平分∠AEC；

②由①知：OF⊥AC，

∴△AFO是直角三角形，

∵∠BAC=30°，OF=OD=3cm，

∴tan30°=3AF，

∴AF=3cm，

由①知：EF平分∠AEC，

∴∠AEF=∠CEF=∠AEC=30°，

∴∠AEF=∠EAF，

∴△AFE是等腰三角形，且AF=EF，

∴EF=3cm.