Question

如圖，PB為⊙O的切線，B為切點，直線PO交⊙于點E、F，過點B作PO的垂線BA，垂足為點D，交⊙O于點A，延長AO與⊙O交于點C，連接BC，AF．
（1）求證：直線PA為⊙O的切線；
（2）試探究線段EF、OD、OP之間的等量關系，并加以證明；
（3）若BC=6，tan∠F=，求cos∠ACB的值和線段PE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OB，根據垂徑定理的知識，得出OA=OB，∠POA=∠POB，繼而證明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性質結合切線的判定定理即可得出結論．
（2）先證明△OAD∽△OPA，利用相似三角形的性質得出OA與OD、OP的關系，然后將EF=20A代入關系式即可．
（3）根據題意可確定OD是△ABC的中位線，設AD=x，然后利用三角函數的知識表示出FD、OA，在Rt△AOD中，利用勾股定理解出x的值，繼而能求出cos∠ACB，再由（2）可得
OA²=OD•OP，代入數據即可得出PE的長．
解答：解：（1）連接OB，
∵PB是⊙O的切線，
∴∠PBO=90°，
∵OA=OB，BA⊥PO于D，
∴AD=BD，∠POA=∠POB，
又∵PO=PO，
∴△PAO≌△PBO（SAS），
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴OA⊥PA，
∴直線PA為⊙O的切線．

（2）EF²=4OD•OP．
證明：∵∠PAO=∠PDA=90°
∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°，
∴∠OAD=∠OPA，
∴△OAD∽△OPA，
∴=，即OA²=OD•OP，
又∵EF=2OA，
∴EF²=4OD•OP．

（3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6，
∴OD=BC=3（三角形中位線定理），
設AD=x，
∵tan∠F=，
∴FD=2x，OA=OF=2x-3，
在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x-3）²=x²+3²，
解之得，x₁=4，x₂=0（不合題意，舍去），
∴AD=4，OA=2x-3=5，
∵AC是⊙O直徑，
∴∠ABC=90°，
又∵AC=2OA=10，BC=6，
∴cos∠ACB==．
∵OA²=OD•OP，
∴3（PE+5）=25，
∴PE=．
點評：此題考查了切線的判定與性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質，綜合考查的知識點較多，關鍵是熟練掌握一些基本性質和定理，在解答綜合題目是能靈活運用．