Question

（2002•荊門）如圖，等腰Rt△ABC的直角邊AB=2，點P、Q分別從A、C兩點同時出發，以相同速度作直線運動．已知點P沿射線AB運動，點Q沿邊BC的延長線運動，PQ與直線AC相交于點D．
（1）設AP的長為x，△PCQ的面積為S．求出S關于x的函數關系式；
（2）當AP的長為何值時，S_△PCQ=S_△ABC；
（3）作PE⊥AC于點E，當點P、Q運動時，線段DE的長度是否改變？證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題要分兩種情況進行討論：
①當P在線段AB上；②當P在AB延長線上．
△PCQ都是以CQ為底，PB為高，可據此得出S、x的函數關系式．
（2）先計算出△ABC的面積，然后將其值代入（1）中得出的兩個函數式中，即可得出所求的AP的長．
（3）本題要分兩種情況進行計算：
①當P在線段AB上時，過P作PF∥QB交AC于F，那么不難得出△PFD≌△QCD，因此DF=CD=，而CF=AC-2AE，因此根據DE=EF+DF即可得出DE的長．
②當P在線段AB延長線上時，DE=EF-FD．
然后比較①②的DE的長是否相等即可判斷出線段DE的長度是否改變．
解答：解：（1）①當點P在線段AB上時（如圖1），S_△PCQ=CQ•PB．
∵AP=CQ=x，PB=2-x．
∴S_△PCQ=x（2-x）．
即S=（2x-x²）（0＜x＜2）；
②當點P在AB延長線上時（如圖2），S_△PCQ=CQ•PB．
∵AP=CQ=x，PB=x-2．
∴S_△PCQ=x（x-2）．
即S=（x²-2x）（x＞2）；

（2）S_△ABC=×2×2=2．
①令（2x-x²）=2，即x²-2x+4=0，此方程無解；
②令（x²-2x）=2，即x²-2x-4=0，解得x=1±．
故當AP的長為1+時，S_△PCQ=S_△ABC．

（3）作PF∥BC交AC交延長線于F，則AP=PF=CQ．
∴△PFD≌△QCD．
∴FD=CD=．
∵AP=x，
∴AE=EF=．
∵AB=2，
∴AC=2．
①當點P在線段AB上時，
∵CF=AC-AF=2-x，FD==-x．
∴DE=EF+DF=-x+=；
②當點P在AB延長線上時，
∵CF=AF-AC=x-2．FD==x-．
∴DE=EF-FD=AF-AE-DF=x-x-（x-）=．
故當P、Q運動時，線段DE的長度保持不變，始終等于．
點評：本題結合三角形的相關知識考查了二次函數的應用，主要考查了學生分類討論、數形結合的數學思想方法．