Question

（2004•揚州）如圖，AB是半圓⊙O的直徑，AC⊥AB，AB=2AC，BF⊥AB，在直徑AB上任取一點P（不與端點A、B重合），過A、P、C三點的圓與⊙O相交于除點A以外的另一點D，連接AD并延長交射線BF于點E，連接DB、DP、DC．
（1）求證：△ACD∽△BPD；
（2）求證：BE=2BP；
（3）試問當點P在何位置時，DE=2AD．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于四邊形APDC是小圓的內接四邊形，那么∠BPD=∠C，證兩三角形相似需再得出一組對應角相等，由于AC，BE都垂直AB，因此可通過這兩條平行線得出∠CAD=∠BED，而∠BED又和∠ABD同為∠DBE的余角，因此可得出∠EBD=∠DAC，這樣兩組對應角相等可得出兩三角形相似．
（2）根據（1）的相似三角形，可以得出關于BP，AC，AD，BD的比例關系式，然后通過相似三角形ADB和ABE可得出關于AD，BD，AB，BE的比例關系式，那么通過置換相等的量，就可得出BE：BP=AB：AC，由此得證．
（3）本題是求BP，AB的比例關系，當DE=2AD時，根據射影定理可得BE²=DE•AE=6AD²，BE=AD=2BP，BP=AD，同樣根據射影定理可得出AB²=AD•AE=4AD²，AB=2AD，因此BP=AB，即當BP=AB時，DE=2AD．
解答：（1）證明：
∵四邊形APDC是小圓的內接四邊形
∴∠BPD=∠C
∵CA⊥AB，EB⊥AB
∴CA∥BE
∴∠CAD=∠DEB
∵∠DEB+∠DBE=∠DBP+∠DBE=90°
∴∠DBP=∠BEB=∠CAD
∴△ACD∽△BPD．

（2）證明：由（1）知∠BED=∠DBP
∵∠ADB=∠ABE
∴△ADB∽△ABE
∴=
由（1）的相似三角形可得=
∴=，即=2
∴BE=2BP．
（3）由DB•DB=AD•2DA，得DB：AD=，
∵△ACD∽△BPD，
∴DB：DA=PB：AC=PB：=，
∴PB=AB時，DE=2AD．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質，通過相似三角形來得出與已知和所求相關的線段成比例是解題的關鍵．