Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，過(guò)點(diǎn)A的直線交⊙O于點(diǎn)P，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，AB2=AP•AD．

（1）求證：AB=AC；

（2）如果∠ABC=60°，⊙O的半徑為1，且P為的中點(diǎn)，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）3．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)AB2=AP•AD，可以連接BP，構(gòu)造相似三角形．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠APB=∠ABD，再根據(jù)圓周角定理得到∠APB=∠ACB，即∠ABC=∠ACB，從而由等角對(duì)等邊證明結(jié)論；

（2）因?yàn)橛幸粋�(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，發(fā)現(xiàn)等邊三角形ABC，再根據(jù)點(diǎn)P為弧的中點(diǎn)，連接BP，發(fā)現(xiàn)30°的直角三角形，且BP是直徑，從而求得AP的長(zhǎng)，AB的長(zhǎng)．再根據(jù)已知中的條件求得AD的長(zhǎng)．

試題解析：（1）連接BP，∵AB2=AP•AD，∴，又∵∠BAD=∠PAB，∴△ABD∽△APB，

∵∠ABC=∠APB，∠APB=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；

（2）由（1）知AB=AC，∵∠ABC=60°，∴△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，

∵P為的中點(diǎn)，∴∠ABP=∠PAC=∠ABC=30°，∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=90°，∴BP為直徑，∴BP過(guò)圓心O，∴BP=2，∴AP=BP=1，∴，∵AB2=AP•AD，∴AD==3．

考點(diǎn)：1．圓周角定理；2．相似三角形的判定與性質(zhì)．