Question

（2013•大豐市一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A、B坐標分別為（4，2）、（0，2），線段CD在于x軸上，CD=

3

2

，點C從原點出發沿x軸正方向以每秒1個單位長度向右平移，點D隨著點C同時同速同方向運動，過點D作x軸的垂線交線段AB于點E、交OA于點G，連結CE交OA于點F． 設運動時間為t，當E點到達A點時，停止所有運動．
（1）求線段CE的長；
（2）記S為Rt△CDE與△ABO的重疊部分面積，試寫出S關于t的函數關系式及t的取值范圍；
（3）連結DF，①當t取何值時，有DF=CD？②直接寫出△CDF的外接圓與OA相切時t的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）直接根據勾股定理求出CE的長即可；
（2）作FH⊥CD于H．，由AB∥OD，DE⊥OD，OB⊥OD可知四邊形ODEB是矩形，故可用t表示出AE及BE的長，由相似三角形的判定定理可得出△OCF∽△AEF，△ODG∽△AEG，由相似三角形的性質可用t表示出CF及EG的長，FH∥ED可得出

HD

CD

=

EF

CE

，故可求出HD的長，由三角形的面積公式可求出S與t的關系式；
（3）①由（2）知CF=t，當DF=CD時，作DK⊥CF于K，則CK=

1

2

CF=

1

2

t，CK=CDcos∠DCE，由此可得出t的值；

解答：解：（1）∵在Rt△CDE中，CD=

3

2

，DE=2，
∴CE=

CD2+DE2

=

( 3 2 )2+22

=

5

2

；

（2）如圖1，作FH⊥CD于H．
∵AB∥OD，DE⊥OD，OB⊥OD，
∴四邊形ODEB是矩形，
∴BE=OD，
∵OC=t，
∴BE=OD=OC+CD=t+

3

2

，
∴AE=AB-BE=4-（t+

3

2

）=

5

2

-t，
∵AB∥OD，
∴△OCF∽△AEF，△ODG∽△AEG，
∴

CF

EF

=

OC

AE

=

t

5 2 -t

，

DG

EG

=

OD

AE

=

t+ 3 2

5 2 -t

，
又∵CF+EF=5，DG+EG=4，
∴

EF+CF

CF

=

5 2 -t+t

t

，

EG+DG

EG

=

t+ 3 2 + 5 2 -t

5 2 -t

，
∴CF=t，EG=

5 2 -t

2

，
∴EF=CE-CF=5-t，
∵FH∥ED，
∴

HD

CD

=

EF

CE

，即HD=

EF

CE

•CD=

3

5

（

5

2

-t），
∴S=

1

2

EG•HD=

1

2

×

5 2 -t

2

×

3

5

（

5

2

-t）=

3

20

（

5

2

-t）²，
t的取值范圍為：0≤t≤

5

2

；

（3）①由（2）知CF=t，
如圖2，當DF=CD時，如圖作DK⊥CF于K，
則CK=

1

2

CF=

1

2

t，
∵CK=CDcos∠DCE，
∴

1

2

t=3×

3

5

，
解得：t=

18

5

；
∴當t=

18

5

時，DF=CD；

點評：本題考查的是相似三角形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、等腰三角形的性質及切割線定理，涉及面較廣，難度較大．